《幸运52》栏目中的猜价问题

2010/5/19 9:47:00 浏览：1111 来源：济南家教网

《幸运52》栏目中的猜价问题 
重庆市南开中学 杨飞 
　　中央电视台《幸运52》栏目中有一个猜商品价格的游戏。规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语"高了""低了"。例如参赛者猜某商品价格为100元，主持人说"高了"，参赛者又猜50元，主持人说"低了"，参赛者又猜80元，主持人说"低了"。这样一直猜下去，直到猜中为止。时间规定为1分钟，谁猜中的商品价格最多谁就获胜，并且商品归参赛者所有。真是一种有趣的游戏。
　　下面我们提出一个问题：如果某参赛者已知道某商品价格X为a~b中的某一整数（即X∈a,a+1,a+2,…,b）,但不知道其真正价格，参赛者应当如何猜才能最快猜出商品价格？也就是说，无论X是集合 a,a+1,a+2,… ,b 中哪一个整数，用最佳方法去猜，猜中商品价格所猜的次数最多只需多少次？
　　我们先对特殊情况进行探讨
　　（1）当X∈ 1 时，（1=2'-1），显然猜中价格所需次数最多为1次。
　　（2）当X∈ 1，2 时，（2=2'），显然猜中价格所需次数最多为2次。
　　（3）当X∈ 1，2，3 时，（3=22-1）。如第1次猜4，如未猜中，则X∈ 1，2 ，由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（如第1次猜1，结论与此同）。第1次猜2，如未猜中，如主持人说"高了"（或"低了"），那么第2次只需猜1（或3）即可。（可见此种猜法最佳）。由此可知，当X∈ 1，2，3 时，最多只需猜2次。
　　（4）当X∈ 1，2，3，4 时，（4=22）。如第1次猜4，如未猜中，则X∈ 1，2，3 。由（3）知最多还需猜2次才能猜中。如第1次猜3，如主持人说"低了"，则X=4。如主持人说"高了"，则X∈ 1，2 。由（2）知最多还需猜2次才能猜中。（此猜法为最佳猜法）。
　　如果第1次猜1或者，结论与上同。
　　综上可知，当X∈ 1，2，3，4 时，最多只需猜3次。
　　（5）当X∈ 1，2，3，4，5 时，（5=22+1）。
　　如第1次猜5，如未猜中，则X∈ 1，2，3，4 时。由（4）知最多还需猜3次才能猜中。
　　如第1次猜4，如未猜X∈ 5 或X∈ 1，2，3 。由（1）（3）可知最多还需猜2次就可猜中。（此猜法最佳）。
　　如第1次猜3，如未猜中，则X∈ 1，2 或 4，5 。由（2）知最多还需猜2次就可猜中。
　　如第1次猜1或2与第1次猜5或4结论相同。
　　综上可知，当X∈ 1，2，3，4，5 时，最多只需猜3次。
　　类似上面的证法我们可以知道：
　　当X∈ 1，2，3，4，5，6 时，（6=22+2），最多只需猜3次。当X∈ 1，2，3，4，5，6，7 时，（7=23-1），最多只需猜3次。
　　从上面这些特例看出：当X∈ 1 时最多只需猜1次；当X∈ 1，2，…，∝ 时（2'≤ ∝≤22-1）时，最多只需猜2次；当X∈ 1，2，3…，∝ （22 ≤∝≤23-1）最多只需猜3次。于是我们猜想：
　　当X∈ 1，2，3…，∝ （2n-1≤∝≤2n-1，∝∈N）时，用最佳方法猜最多只需猜几次。
　　证：（1）当n=1，2，3时，由前面的探讨可知猜想成立。
　　（2）假设当n=k时，猜想成立。即当X∈ 1，2，3…，∝ （2k-1≤∝≤2k-1，∝∈N）时，用最佳方法猜最多只需K次就可猜中商品价格。
　　当n=k+1时，X∈ 1，2，3…，∝ （2k≤∝≤2k+1-1，∝∈N）。我们第1次猜2k，如未猜中，则X∈ 1，2，…，2k-1 =A或X∈ 2k+1,2k+2,…, ∝ =B。因∝-2k∈[o,2k-1]，可见集合A有2k-1个元素，集合B的元素不多于，2k-1个。由归纳假设可知，最多还需猜K次就可以集合A或B中猜中商品的价格。
　　所以当n=k+1时猜想也成立。
　　由（1）（2）可知，猜想成立。
　　从上面这些特例和猜想的证明可以看出：对于商品价格X∈ 1，2，3…，∝ （2 n-1≤∝≤2n-1，∝∈N），最佳猜价方法为：2n-1 ± 2n-2 ± 2n-3 ± 2n-4 ±…±2o
　　第1次 第2次 第3次 第4次 第n次
　　说明：当X∈ 1，2，…，∝ （2 n-1≤∝≤2n-1）时，第1次猜2n-1，如主持人说"高了"，第2次就猜2n-1-2n-2；如主持人说"低了"，第2次就猜 2n-1+2n+2。由这一方法，第K次所猜之数只需在第K-1次所猜数上"加上或减去2n-k"。（1≤K≤n，加或减由主持人提示语确定。） 。例1：某参赛者已知道某商品价格为1∽15中的某一整数，但不知道真正价格，主持人让参赛者猜商品价格，向最多只需几次就可猜中商品价格？
　　解：设商品价格为X元，则X∈ 1，2，3，…，15 且23〈15≤24-1。由前面的结论可知最多只需4次就可猜中。
　　例2：某参赛者已知道某商品价格为50-100元中的某一整数，但不知道其真正价格，主持人让参赛者猜商品价格，向最多只需几次就可猜中商品价格？假设商品价格为68元，我们应当如何猜呢？
　　解：设商品价格为X元，则X∈ 50，51，52，…，100 ，于是X-49 ∈ 1,2,3,…，51 且25<51<26-1。所以最多只需6次就可猜中商品价格。
　　假设X=68元。我们第1次猜49+25=81元，主持人说"高了"；第2次猜81-24=65元，主持人说"低了"；第3次猜65+23=73元，主持人说"高了"；第4次猜73-2'=67元，主持人说"低了"；第6次猜67+2o=68元，从而被猜中。
　　读者可以就X取其它数进行验证。